Desigualdad
Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos expresiones usando símbolos como menor que, mayor que, o no igual.
Definition
Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos expresiones usando símbolos que significan "menor que", "mayor que", "menor o igual que" o "mayor o igual que", escritos $<$, $>$, $\le$ o $\ge$; en lugar de decir que dos cosas son iguales, dice que una es mayor o menor, y su conjunto solución suele ser todo un rango de valores en lugar de un único número. Una regla clave es que multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo invierte el símbolo de la desigualdad. Más formalmente, una desigualdad es una relación de orden parcial entre expresiones dentro de un cuerpo ordenado o un anillo ordenado; para desigualdades polinómicas de valor real, el teorema de Sturm proporciona un algoritmo para contar raíces reales en un intervalo, y los sistemas de desigualdades lineales definen las regiones factibles convexas que son la base de la programación lineal.
Example
$x > 5$ significa que $x$ es mayor que $5$: cualquier número mayor que $5$, como $6$, $7$ o $100$, la hace verdadera. Al resolver $3x - 4 > 8$: suma $4$ para obtener $3x > 12$, luego divide entre $3$ para obtener $x > 4$, escrito $(4, \infty)$ en notación de intervalos. La desigualdad $|x - 3| < 2$ equivale a $-2 < x - 3 < 2$, lo que da $1 < x < 5$, un intervalo abierto cuya interpretación como distancia conecta el valor absoluto con los espacios métricos.
Key Insight
Las desigualdades describen un rango de respuestas posibles, lo cual es más realista para muchas situaciones de la vida real, como "debes tener al menos $13$ años". La regla de invertir la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo es la que más se olvida (por ejemplo, $-2x < 6$ da $x > -3$, no $x < -3$), y la programación lineal, que maximiza o minimiza un objetivo lineal sobre un poliedro convexo definido por desigualdades lineales, es la columna vertebral de la investigación de operaciones, la optimización logística y la regularización en el aprendizaje automático.