不定积分
bù dìng jī fēn
一个函数的不定积分是它所有原函数组成的一族,用一个常数 C 表示所有可能的情形。
Formula
\int f(x)\, dx = F(x) + C
Definition
不定积分一次性求出一个函数的所有原函数；答案里总是带有"$+ C$"，用来代表求导过程中被抹去的那个未知常数。记作 $\int f(x)\, dx = F(x) + C$，它表示一般的原函数族，关键法则与求导法则相呼应：$\int x^n\, dx = x^{n+1}/(n+1) + C$（当 $n \neq -1$ 时），$\int e^x\, dx = e^x + C$，$\int \cos(x)\, dx = \sin(x) + C$。更抽象地说，$f$ 的所有原函数构成一个陪集 $F + \ker(d/dx)$，其中 $\ker(d/dx)$ 是连通定义域上的常数函数；在不连通的定义域上，"常数"在不同分支上可以取不同的值。
Example
$\int 3x^2\, dx = x^3 + C$，通过对 $x^3 + C$ 求导得到 $3x^2$ 可以验证。逐项求解，$\int (4x^3 + 2x - 5)\, dx = x^4 + x^2 - 5x + C$，用到了幂法则的逆运算。在不连通的定义域上，$\int 1/x\, dx = \ln|x| + C$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, \infty)$ 上可以分别携带不同的常数 $C_1$ 和 $C_2$。
Key Insight
"$+ C$"并不是偷懒，它代表无穷多个都成立的答案，彼此之间只相差一次竖直方向的平移；每一条求导法则都对应一条积分法则，因此成对学习它们能让两者都更容易记住。不定积分不是单个函数，而是一个函数的等价类，这一区别在分布微积分和微分方程理论中都很重要。