Integral Indefinida
La integral indefinida de una función es la familia de todas sus antiderivadas, escrita con una constante C para representar todas las posibilidades.
Formula
\int f(x)\, dx = F(x) + C
Definition
La integral indefinida encuentra todas las antiderivadas de una función a la vez; la respuesta siempre incluye "$+ C$" para representar la constante desconocida que la diferenciación borra. Escrita $\int f(x)\, dx = F(x) + C$, representa la familia general de antiderivadas, y las reglas clave reflejan la diferenciación: $\int x^n\, dx = x^{n+1}/(n+1) + C$ (para $n \neq -1$), $\int e^x\, dx = e^x + C$, $\int \cos(x)\, dx = \sin(x) + C$. De forma más abstracta, todas las antiderivadas de $f$ forman una clase lateral $F + \ker(d/dx)$, donde $\ker(d/dx)$ son las funciones constantes en un dominio conexo; en dominios no conexos, la "constante" puede diferir en cada componente.
Example
$\int 3x^2\, dx = x^3 + C$, verificado al diferenciar $x^3 + C$ para recuperar $3x^2$. Término a término, $\int (4x^3 + 2x - 5)\, dx = x^4 + x^2 - 5x + C$, usando la regla de la potencia al revés. En un dominio no conexo, $\int 1/x\, dx = \ln|x| + C$ puede llevar constantes distintas $C_1$ y $C_2$ en $(-\infty, 0)$ y $(0, \infty)$ por separado.
Key Insight
El "$+ C$" no es pereza, representa una infinidad de respuestas válidas, todas difiriendo solo por un desplazamiento vertical, y cada regla de diferenciación tiene una regla de integración correspondiente, así que aprenderlas en pares hace que ambas sean más fáciles de recordar. La integral indefinida no es una sola función sino una clase de equivalencia de funciones, una distinción que importa en el cálculo distribucional y en la teoría de las ecuaciones diferenciales.