虚部
xū bù
复数 a + bi 的虚部是实数 b(即 i 的系数),记作 Im(z) = b。
Formula
Im(a + bi) = b
Definition
复数 $a + bi$ 的虚部是实数 $b$，即 $i$ 前面的系数，而不是 $bi$ 这一整项本身，这个微妙之处常常让许多学生感到意外：所谓"虚部"其实只是 $b$ 的一个标签，这个数本身是一个完全普通的实数。严格地说，$\text{Im}(z) = b$，等价地 $\text{Im}(z) = (z - \bar{z})/(2i)$，是在虚轴上的投影，一个数是纯虚数当且仅当 $\text{Re}(z) = 0$ 且 $\text{Im}(z) \neq 0$。$\text{Im}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ 满足 $\text{Im}(z + w) = \text{Im}(z) + \text{Im}(w)$ 以及对实数 $r$ 有 $\text{Im}(rz) = r\,\text{Im}(z)$，但 $\text{Im}(iz) = \text{Re}(z)$ 而不是 $i\,\text{Im}(z)$；对解析函数 $f = u + iv$，$\text{Im}(f) = v$ 是调和函数，与 $u = \text{Re}(f)$ 共轭，希尔伯特变换在实数轴上把二者联系起来，$v = H[u]$。
Example
对于 $5 + 3i$，虚部是 $3$（不是 $3i$）；对于 $-2 + 7i$，虚部是 $7$；对于 $4$（即 $4 + 0i$），虚部是 $0$。$\text{Im}(6 - 2i) = -2$，$\text{Im}((1+i)^3) = \text{Im}(-2 + 2i) = 2$。在量子力学中，波函数 $\psi$ 是复值的，$|\psi|^2 = \text{Re}(\psi)^2 + \text{Im}(\psi)^2$ 给出概率密度，其中相位（$\text{Im}/\text{Re}$ 之比）携带着关于干涉的物理信息；欧拉公式 $\text{Im}(e^{i\theta}) = \sin(\theta)$ 表明虚部是复指数中的振荡成分。
Key Insight
在复平面上，$\text{Im}(z)$ 是纵坐标（$y$ 坐标），虚轴是 $\text{Re}(z) = 0$ 之处，复共轭把一个点关于实轴反射，改变 $\text{Im}(z)$ 的符号。虚部在波动现象中携带相位信息，这使复指数成为波动方程的自然语言，实部和虚部都是必需的，二者的比值携带着有物理意义的干涉信息。