Parte Imaginaria
La parte imaginaria de un número complejo a + bi es el número real b (el coeficiente de i), escrito Im(z) = b.
Formula
Im(a + bi) = b
Definition
La parte imaginaria de un número complejo $a + bi$ es el número real $b$, el coeficiente delante de $i$, no el término $bi$ en sí, una sutileza que sorprende a muchos estudiantes: la "parte imaginaria" es una etiqueta para $b$, que en sí es un número real perfectamente ordinario. Formalmente, $\text{Im}(z) = b$, equivalentemente $\text{Im}(z) = (z - \bar{z})/(2i)$, la proyección sobre el eje imaginario, y un número es puramente imaginario si $\text{Re}(z) = 0$ y $\text{Im}(z) \neq 0$. $\text{Im}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ satisface $\text{Im}(z + w) = \text{Im}(z) + \text{Im}(w)$ y $\text{Im}(rz) = r\,\text{Im}(z)$ para $r$ real, pero $\text{Im}(iz) = \text{Re}(z)$ en lugar de $i\,\text{Im}(z)$; para $f = u + iv$ analítica, $\text{Im}(f) = v$ es armónica y conjugada de $u = \text{Re}(f)$, y la transformada de Hilbert las relaciona en la recta real, $v = H[u]$.
Example
Para $5 + 3i$, la parte imaginaria es $3$ (no $3i$); para $-2 + 7i$, es $7$; y para $4$ (es decir, $4 + 0i$), es $0$. $\text{Im}(6 - 2i) = -2$, y $\text{Im}((1+i)^3) = \text{Im}(-2 + 2i) = 2$. En mecánica cuántica, la función de onda $\psi$ tiene valores complejos, y $|\psi|^2 = \text{Re}(\psi)^2 + \text{Im}(\psi)^2$ da la densidad de probabilidad, con la fase (la razón $\text{Im}/\text{Re}$) portando información física sobre la interferencia; la fórmula de Euler, $\text{Im}(e^{i\theta}) = \sin(\theta)$, muestra que la parte imaginaria es la componente oscilatoria de una exponencial compleja.
Key Insight
En el plano complejo, $\text{Im}(z)$ es la coordenada vertical (el eje $y$), el eje imaginario es donde $\text{Re}(z) = 0$, y la conjugación compleja refleja un punto a través del eje real, cambiando el signo de $\text{Im}(z)$. La parte imaginaria porta información de fase en fenómenos ondulatorios, haciendo de las exponenciales complejas el lenguaje natural para las ecuaciones de onda, se necesitan tanto la parte real como la imaginaria, y su razón codifica interferencia físicamente significativa.