像（变换）
xiàng (biàn huàn)
像是对原图形（原像）施加变换之后得到的图形。
Definition
像是一个图形经过变换后的样子；原图形是原像，经过移动、翻转或缩放后得到的图形是像，通常用带撇号的字母（$A'$、$B'$、$C'$）标注，表明它来自原像。严格地说，图形 $F$ 在变换 $T$ 下的像是集合 $T(F) = \{T(P) : P \in F\}$；对于刚体运动，像与原像全等，对于位似变换，像与原像相似。对于变换 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，线性映射的像是其列空间（值域），对于一般的可微映射，正则点附近的像可以用线性化（雅可比矩阵）的像来近似；如果某点处雅可比矩阵可逆，反函数定理保证像在局部是一条光滑曲线。
Example
把三角形 $ABC$ 沿y轴反射，$ABC$ 是原像，新三角形 $A'B'C'$ 是像。在平移 $T(x,y) = (x+2, y-3)$ 下，从 $(1,4)$ 到 $(5,4)$ 的线段的像是从 $(3,1)$ 到 $(7,1)$ 的线段，长度不变（$4$ 个单位），但位置改变了。单位圆在线性映射 $T(x,y) = (2x, y)$ 下的像是椭圆 $\{(x,y) : (x/2)^2 + y^2 = 1\}$，雅可比矩阵为 $\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}$，行列式为 $2$，所以面积按因子 $2$ 缩放。
Key Insight
把"撇号"理解为"变换之后"：读撇号就能知道它源自哪个原始的点。变换几何中的"像"一词与函数记号中的用法相同：如果 $f(x) = 2x$，那么 $x=3$ 的像就是 $f(3)=6$，同样地，如果 $T$ 是一个几何变换，点 $A$ 的像就是 $T(A)$，几何和代数使用了完全相同的语言。