Imagen (Transformación)
La imagen es la figura resultante después de aplicar una transformación a la figura original (la preimagen).
Definition
La imagen es cómo se ve una figura después de aplicar una transformación; la figura original es la preimagen, y la figura resultante después de mover, voltear o redimensionar es la imagen, convencionalmente etiquetada con marcas de prima ($A'$, $B'$, $C'$) para mostrar que proviene de la preimagen. Formalmente, la imagen de una figura $F$ bajo la transformación $T$ es el conjunto $T(F) = \{T(P) : P \in F\}$; para movimientos rígidos la imagen es congruente con la preimagen, y para dilataciones es semejante. Para una transformación $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, la imagen de una aplicación lineal es su espacio columna (rango), y para aplicaciones diferenciables generales, la imagen cerca de un punto regular se aproxima mediante la imagen de la linealización (el jacobiano); si el jacobiano es invertible en un punto, el teorema de la función inversa garantiza que la imagen es localmente una curva suave.
Example
Reflejar el triángulo $ABC$ a través del eje y hace que $ABC$ sea la preimagen y el nuevo triángulo $A'B'C'$ sea la imagen. Bajo la traslación $T(x,y) = (x+2, y-3)$, la imagen del segmento de $(1,4)$ a $(5,4)$ es el segmento de $(3,1)$ a $(7,1)$, la misma longitud ($4$ unidades) pero una nueva posición. La imagen del círculo unitario bajo la aplicación lineal $T(x,y) = (2x, y)$ es la elipse $\{(x,y) : (x/2)^2 + y^2 = 1\}$, con jacobiano $\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}$ y determinante $2$, así que las áreas escalan por un factor de $2$.
Key Insight
Piensa en "prima" como "después de la transformación": leer la marca de prima te dice de qué punto original proviene. La palabra "imagen" en geometría de transformaciones es la misma que en notación de funciones: si $f(x) = 2x$, la imagen de $x=3$ es $f(3)=6$, y de manera similar si $T$ es una transformación geométrica, la imagen del punto $A$ es $T(A)$, la geometría y el álgebra usando un lenguaje idéntico.