恒等律
héng děng lǜ
恒等律指出，加 0 或乘以 1 不改变一个数：a + 0 = a，a x 1 = a。
Formula
a + 0 = a | a \times 1 = a
Definition
恒等律包含两部分：任何数加 $0$ 都不变（加法单位元），任何数乘 $1$ 都不变（乘法单位元）；之所以称为"恒等"，是因为它们保持了原数的"身份"不变，而且在实数系统中这两个单位元都是唯一的。在群论中，单位元 $e$ 满足对群中所有 $a$ 都有 $e * a = a * e = a$，并且每个群的单位元都是唯一的；在环论中，加法单位元是 $0$（使其构成阿贝尔群），乘法单位元是 $1$（如果环含有乘法单位元），而域则要求这两个单位元都存在且 $0 \neq 1$。
Example
$7 + 0 = 7$，$7 \times 1 = 7$：零是加法单位元，一是乘法单位元。在 $5x + 0$ 中，"$+ 0$"可以省去，只剩 $5x$；在 $1 \times (3y)$ 中，$1$ 可以省去，只剩 $3y$。在 $2 \times 2$ 实数矩阵环中，加法单位元是零矩阵，乘法单位元是 $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，满足 $A + 0 = A$ 和 $AI = IA = A$。
Key Insight
许多数学系统中都存在单位元：矩阵代数中的单位矩阵 $I$ 扮演着 $1$ 的角色，因为对任意矩阵 $A$ 都有 $AI = A$。单位元的唯一性可由群的公理推出：若 $e$ 和 $e'$ 都是单位元，则 $e = e * e' = e'$。这一简洁的证明说明了公理如何迫使结构具有唯一性。