Propiedad de Identidad
La propiedad de identidad establece que sumar 0 o multiplicar por 1 deja un número sin cambios: a + 0 = a y a x 1 = a.
Formula
a + 0 = a | a \times 1 = a
Definition
La propiedad de identidad tiene dos partes: sumar $0$ a cualquier número lo deja igual (la identidad aditiva), y multiplicar cualquier número por $1$ lo deja igual (la identidad multiplicativa); se llaman "identidades" porque preservan la identidad del número original, dejándolo sin cambios, y son únicas en el sistema de los números reales. En teoría de grupos, un elemento identidad $e$ satisface $e * a = a * e = a$ para todo $a$ en el grupo, y todo grupo tiene una identidad única; en teoría de anillos, la identidad aditiva es $0$ (lo que da un grupo abeliano) y la identidad multiplicativa es $1$ (si el anillo tiene una), y los cuerpos requieren que existan ambas identidades con $0 \neq 1$.
Example
$7 + 0 = 7$ y $7 \times 1 = 7$: el cero es la identidad aditiva y el uno es la identidad multiplicativa. En $5x + 0$, el "$+ 0$" se puede eliminar para dejar $5x$, y en $1 \times (3y)$, el $1$ se puede eliminar para dejar $3y$. En el anillo de las matrices reales de $2 \times 2$, la identidad aditiva es la matriz cero y la identidad multiplicativa es $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$, que satisface $A + 0 = A$ y $AI = IA = A$.
Key Insight
Los elementos identidad existen en muchos sistemas matemáticos: la matriz identidad $I$ en el álgebra matricial cumple el papel del $1$, ya que $AI = A$ para cualquier matriz $A$. La unicidad de los elementos identidad se sigue de los axiomas de grupo: si $e$ y $e'$ son ambos identidades, entonces $e = e * e' = e'$. Esta elegante demostración ilustra cómo los axiomas obligan a la unicidad estructural.