单位矩阵
dān wèi jǔ zhèn
单位矩阵是主对角线上全为 1、其余位置全为 0 的方阵,在矩阵乘法中充当乘法单位元。
Formula
I_n: \text{1s on diagonal, 0s elsewhere}
Definition
单位矩阵是一个方阵，从左上角到右下角的对角线上都是 $1$，其余位置都是 $0$；用它去乘任何矩阵都会得到原来的矩阵，$AI = IA = A$，就像数字 $1$ 在普通乘法中不改变结果一样。$n \times n$ 单位矩阵 $I_n$ 的元素是 $(I_n)_{ij} = 1$（若 $i = j$），否则为 $0$，当逆矩阵存在时满足 $AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$，且 $\det(I_n) = 1$。它是环 $M_n(F)$ 的乘法单位元，代表恒等线性映射 $\text{id}: F^n \to F^n$；在群论中，$\{I_n\}$ 是 $GL_n(F)$ 的平凡子群，它的特征值都是 $1$，它是每一个相似变换的不动点，对任意可逆矩阵 $P$ 都有 $P^{-1}IP = I$。
Example
$2\times 2$ 单位矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$ 在乘法下不改变任何矩阵，$I_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ 代表"什么都不做"的变换，把一个向量乘以 $I_n$ 会返回原来的向量。单位矩阵是唯一同时是对称矩阵、正交矩阵、厄米矩阵、酉矩阵和对角矩阵的矩阵，迹为 $n$，行列式为 $1$。
Key Insight
单位矩阵之于矩阵乘法，正如数字 $1$ 之于普通乘法：它使一切保持不变，而且因为 $\det(I) = 1$，它标志着行列式为正（保持方向）与行列式为负（反转方向）的矩阵之间的分界。正如 $1$ 生成了 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 中乘法单位群一样，单位矩阵是构造一般线性群 $GL_n(F)$ 及其丰富子群结构的起点。