Matriz Identidad
La matriz identidad es una matriz cuadrada con 1s en la diagonal principal y 0s en el resto, y actúa como la identidad multiplicativa para la multiplicación de matrices.
Formula
I_n: \text{1s on diagonal, 0s elsewhere}
Definition
La matriz identidad es una matriz cuadrada con $1$s en la diagonal de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha y $0$s en todo lo demás; multiplicar cualquier matriz por ella da como resultado la matriz original, $AI = IA = A$, tal como el número $1$ deja sin cambios a la multiplicación ordinaria. La matriz identidad $n \times n$ $I_n$ tiene entradas $(I_n)_{ij} = 1$ si $i = j$, $0$ en otro caso, satisface $AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$ cuando existe una inversa, y tiene $\det(I_n) = 1$. Es la identidad multiplicativa del anillo $M_n(F)$, representando la aplicación lineal identidad $\text{id}: F^n \to F^n$; en teoría de grupos $\{I_n\}$ es el subgrupo trivial de $GL_n(F)$, sus valores propios son todos $1$, y es el punto fijo de toda transformación de similitud, $P^{-1}IP = I$ para cualquier $P$ invertible.
Example
La matriz identidad $2\times 2$ $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$ deja cualquier matriz sin cambios bajo multiplicación, y $I_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ representa la transformación "no hacer nada," multiplicar un vector por $I_n$ devuelve el mismo vector. La matriz identidad es la única matriz que es simultáneamente simétrica, ortogonal, hermítica, unitaria, y diagonal, con traza $n$ y determinante $1$.
Key Insight
La matriz identidad es para la multiplicación de matrices lo que el número $1$ es para la multiplicación ordinaria: deja todo sin cambios, y marca el límite entre las matrices con determinante positivo (que preservan la orientación) y negativo (que invierten la orientación), ya que $\det(I) = 1$. Así como $1$ genera el grupo multiplicativo de unidades en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, la identidad es el punto de partida para construir el grupo lineal general $GL_n(F)$ y su rica estructura de subgrupos.