水平平移
shuǐ píng píng yí
水平平移是一种沿 x 轴方向将函数图像向左或向右移动的变换。
Formula
g(x) = f(x - h)
Definition
水平平移把一个函数的图像向左或向右滑动，而不改变它的形状。把 $f(x)$ 变换为 $f(x - h)$，当 $h > 0$ 时图像向右平移 $h$ 个单位，当 $h < 0$ 时向左平移 $|h|$ 个单位，所有关键特征（顶点、截距、渐近线）都平移相同的量。这是沿 $x$ 方向的平移，是仿射变换的一个特例，表示与 $T_h(x) = x - h$ 的复合；在傅里叶分析中，时间上的平移对应相位上的平移：若 $F(f(t)) = F(w)$，则 $F(f(t - h)) = e^{-iwh} \cdot F(w)$。
Example
$f(x) = x^2$ 的顶点是 $(0, 0)$，而 $g(x) = (x - 3)^2$ 把抛物线向右平移 $3$ 个单位，$h(x) = (x + 2)^2$ 把它向左平移 $2$ 个单位。$f(x) = \sqrt{x}$ 经过 $(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$，而 $g(x) = \sqrt{x - 4}$ 经过 $(4,0)$、$(5,1)$、$(8,2)$，每一点都向右移动了 $4$ 个单位。在信号处理中，对信号 $f(t)$ 施加 $h$ 秒的时延会得到 $f(t - h)$，它的频率成分不变，但在每个频率 $w$ 处产生 $-wh$ 的相位偏移。
Key Insight
水平平移的方向似乎是反直觉的，$(x - 3)$ 是向右平移而不是向左，因为你需要一个更大的 $x$ 才能得到和以前一样的 $y$，所以图像向右移动；这也影响定义域：若 $f(x)$ 的定义域是 $[0, \infty)$，则 $f(x - 4)$ 的定义域是 $[4, \infty)$。量子力学与信号处理中的相位偏移就是时间域或位置域上的水平平移，说明这种变换的物理意义远远超出初等图像变换。