Desplazamiento Horizontal
Un desplazamiento horizontal es una transformación que mueve la gráfica de una función a la izquierda o a la derecha a lo largo del eje x.
Formula
g(x) = f(x - h)
Definition
Un desplazamiento horizontal desliza la gráfica de una función a la izquierda o a la derecha sin cambiar su forma. Transformar $f(x)$ en $f(x - h)$ desplaza la gráfica $h$ unidades a la derecha si $h > 0$ y $|h|$ unidades a la izquierda si $h < 0$, con todas las características clave (vértice, intersecciones, asíntotas) desplazadas en la misma cantidad. Es una traslación en la dirección $x$, un caso especial de una transformación afín, que representa la precomposición con $T_h(x) = x - h$; en análisis de Fourier, los desplazamientos en el tiempo se convierten en desplazamientos de fase, si $F(f(t)) = F(w)$, entonces $F(f(t - h)) = e^{-iwh} \cdot F(w)$.
Example
$f(x) = x^2$ tiene vértice $(0, 0)$, mientras que $g(x) = (x - 3)^2$ desplaza la parábola $3$ unidades a la derecha y $h(x) = (x + 2)^2$ la desplaza $2$ unidades a la izquierda. $f(x) = \sqrt{x}$ pasa por $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$, y $g(x) = \sqrt{x - 4}$ pasa por $(4,0)$, $(5,1)$, $(8,2)$, cada punto movido $4$ unidades a la derecha. En procesamiento de señales, un retraso de tiempo de $h$ segundos aplicado a una señal $f(t)$ produce $f(t - h)$, que tiene el mismo contenido de frecuencia pero un desplazamiento de fase de $-wh$ en cada frecuencia $w$.
Key Insight
La dirección de un desplazamiento horizontal parece invertida, $(x - 3)$ desplaza a la DERECHA no a la izquierda, porque se necesita un $x$ mayor para obtener el mismo $y$ que antes, así que la gráfica se mueve a la derecha; esto también afecta el dominio, si $f(x)$ tiene dominio $[0, \infty)$, entonces $f(x - 4)$ tiene dominio $[4, \infty)$. Los desplazamientos de fase en mecánica cuántica y procesamiento de señales son desplazamientos horizontales en el dominio del tiempo o la posición, mostrando cómo la transformación tiene una interpretación física mucho más allá de la graficación elemental.