直方图
zhí fāng tú
直方图是一种条形图，通过把数值分组到称为“组”的区间中来展示数值数据的分布。
Definition
直方图是一种特殊的条形图，显示数值落在不同范围内的频繁程度，条形彼此相连，因为这些范围是连续的、没有间隙。它展示连续或分组数值数据的分布：水平轴上标出等宽的区间（组距），条形的高度（或面积）代表频数或相对频数。形式上，组距为 $h$ 的等宽直方图将概率密度估计为 $\hat{f}(x) = n_i/(nh)$（$x$ 位于第 $i$ 组内），其中 $n_i$ 是该组的计数，$n$ 是总样本量；最优带宽 $h^*$ 使渐近积分均方误差（AMISE）最小化：$h^* = \left(\dfrac{24\sqrt{\pi}}{n \int f''(x)^2\,dx}\right)^{1/5}$。
Example
学生身高的直方图可能这样分组：$50$-$54$ 英寸（$3$ 名学生）、$55$-$59$ 英寸（$7$ 名学生）、$60$-$64$ 英寸（$10$ 名学生）、$65$-$69$ 英寸（$5$ 名学生），其中最高的条形出现在 $60$-$64$ 范围。$50$ 名学生的考试成绩按每 $10$ 分一组分箱，可能揭示出正态分布或某种偏斜，取决于哪一组最高。对于标准正态分布，当 $n = 100$ 时，AMISE 最优组距约为 $0.53$；弗里德曼-迪亚科尼斯法则 $h = 2 \cdot \text{IQR} \cdot n^{-1/3}$ 是一个稳健的替代方案。
Key Insight
与用于类别的普通条形图不同，直方图展示的是分组到区间中的数字，它的形状揭示数据是聚集在中间、聚集在某一端，还是均匀分布：对称（钟形）、左偏、右偏、双峰或均匀。核密度估计（KDE）可以看作是一种平滑后的直方图，用以每个数据点为中心的平滑核函数替代每个组，解决了直方图对组边界位置敏感的问题。