高阶导数
gāo jiē dǎo shù
高阶导数是对一个函数求导不止一次所得到的结果,例如二阶或三阶导数。
Formula
f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2}
Definition
高阶导数是指对一个函数求导不止一次：二阶导数是导数的导数，依此类推。第 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 由归纳定义（$f^{(0)} = f$，$f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$），是把 $f$ 重复求导 $n$ 次得到的，记作 $f''$、$f'''$、$f^{(4)}, \ldots$ 或 $d^ny/dx^n$。若函数的前 $n$ 阶导数都存在且连续，则称它为 $C^n$ 函数；若所有阶导数都存在，则称它为 $C^\infty$（光滑）函数。
Example
若位置为 $s(t) = t^3$，速度 $s'(t) = 3t^2$ 和加速度 $s''(t) = 6t$ 分别是一阶和二阶导数。对于 $f(x) = x^4$：$f' = 4x^3$，$f'' = 12x^2$，$f''' = 24x$，$f^{(4)} = 24$，$f^{(5)} = 0$，说明多项式最终会求导为零。相比之下，对于 $f(x) = e^x$，$f^{(n)}(x) = e^x$ 对所有 $n$ 都成立，这正是 $e^x$ 处处等于自身泰勒级数的原因。
Key Insight
每次求导都能了解到新的信息：一阶导数是变化率，二阶导数是变化率的变化率，而二阶导数还揭示了凹凸性。泰勒级数的系数由某点处的高阶导数决定，$f^{(n)}(a)/n!$；在偏微分方程中，存在的最高阶导数的阶数决定了方程的类型（椭圆型、抛物型、双曲型）以及其解的性质。