Derivada de Orden Superior
Una derivada de orden superior es el resultado de diferenciar una función más de una vez, como la segunda o la tercera derivada.
Formula
f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2}
Definition
Una derivada de orden superior significa diferenciar una función más de una vez: la segunda derivada es la derivada de la derivada, y así sucesivamente. La $n$-ésima derivada $f^{(n)}(x)$ se define de forma inductiva ($f^{(0)} = f$, $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$) y se obtiene diferenciando $f$ repetidamente $n$ veces, escrita $f''$, $f'''$, $f^{(4)}, \ldots$ o $d^ny/dx^n$. Una función es $C^n$ si sus primeras $n$ derivadas existen todas y son continuas, y $C^\infty$ (suave) si todas las derivadas existen.
Example
Si la posición es $s(t) = t^3$, la velocidad $s'(t) = 3t^2$ y la aceleración $s''(t) = 6t$ son la primera y segunda derivadas. Para $f(x) = x^4$: $f' = 4x^3$, $f'' = 12x^2$, $f''' = 24x$, $f^{(4)} = 24$, $f^{(5)} = 0$, mostrando que los polinomios eventualmente se derivan hasta cero. En cambio, para $f(x) = e^x$, $f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n$, por lo que $e^x$ es igual a su propia serie de Taylor en todas partes.
Key Insight
Cada vez que derivas, aprendes algo nuevo: la primera derivada es la tasa de cambio, la segunda derivada es la tasa de la tasa de cambio, y la segunda derivada también revela la concavidad. Los coeficientes de una serie de Taylor se determinan mediante derivadas de orden superior en un punto, $f^{(n)}(a)/n!$, y en las EDP el orden de la derivada más alta presente determina el tipo de la ecuación (elíptica, parabólica, hiperbólica) y la naturaleza de sus soluciones.