六边形
liù biān xíng
六边形是有六条边的多边形，其六个内角之和为 720 度。
Formula
\text{Interior angle sum} = 720^\circ; \text{each regular angle} = 120^\circ
Definition
六边形是有六条边和六个角的多边形，其角之和为 $720^\circ$($=(6-2)\times180$)；正六边形所有六条边相等，每个角为 $120^\circ$，有 $9$ 条对角线，$6$ 条对称轴，可以分成 $6$ 个共享中心的等边三角形，面积为 $(3\sqrt{3}/2)s^2$。它的顶点位于 $\{e^{i\pi k/3}:k=0,\ldots,5\}$($6$ 次单位根)，对称群是 $12$ 阶的 $D_6$，它是除三角形和正方形之外唯一能单独铺满 $\mathbb{R}^2$ 的正多边形，这一事实由海尔斯在1999年证明的蜂窝猜想严格确认。
Example
蜂巢巢室、雪花的截面和许多地板瓷砖都是六边形；螺栓头是六边形的，这样扳手才能夹紧它。对于边长 $s=2$：面积 $=6\sqrt{3}\approx10.39$，长对角线(穿过对面顶点)$=2s=4$，短对角线(对面边之间)$=s\sqrt{3}\approx3.46$。$6$ 次单位根 $\{1, \omega, \omega^2, -1, -\omega, -\omega^2\}$(其中 $\omega=e^{i\pi/3}$)的最小多项式是 $\Phi_6(x)=x^2-x+1$，这个分圆多项式将六边形与伽罗瓦理论联系了起来。
Key Insight
正六边形是铺满平面最高效的形状，用最少的边界长度围出最大的面积，这就是蜜蜂用六边形建造蜂巢的原因，它们用最少的蜡储存最多的蜂蜜。将六边形从中心分成 $6$ 个等边三角形揭示了其面积公式为何成立，并展示了其内部的六重对称性，海尔斯对蜂窝猜想的证明从数学上确认了蜜蜂似乎凭进化"知道"的事实：正六边形网格能使平面所有等面积划分中的总周长最小。