Hexágono
Un hexágono es un polígono con seis lados y seis ángulos interiores que suman 720 grados.
Formula
\text{Interior angle sum} = 720^\circ; \text{each regular angle} = 120^\circ
Definition
Un hexágono es un polígono de seis lados y seis esquinas, cuyos ángulos suman $720^\circ$ ($=(6-2)\times180$); un hexágono regular tiene los seis lados iguales, cada ángulo $120^\circ$, $9$ diagonales, $6$ ejes de simetría, y se divide en $6$ triángulos equiláteros que comparten el centro, dando área $(3\sqrt{3}/2)s^2$. Sus vértices se ubican en $\{e^{i\pi k/3}:k=0,\ldots,5\}$ ($6$ raíces de la unidad), grupo de simetría $D_6$ de orden $12$, y es el único polígono regular (aparte del triángulo y el cuadrado) que tesela $\mathbb{R}^2$ por sí solo, un hecho confirmado rigurosamente por la demostración de Hales de 1999 de la conjetura del panal.
Example
Las celdas del panal, las secciones transversales de copos de nieve, y muchas baldosas de piso son hexágonos; la cabeza de un perno es hexagonal para que una llave pueda sujetarla. Para el lado $s=2$: área $=6\sqrt{3}\approx10.39$, la diagonal larga (a través) $=2s=4$, la diagonal corta (entre bordes opuestos) $=s\sqrt{3}\approx3.46$. Las $6$ raíces de la unidad $\{1, \omega, \omega^2, -1, -\omega, -\omega^2\}$ (donde $\omega=e^{i\pi/3}$) tienen polinomio mínimo $\Phi_6(x)=x^2-x+1$, el polinomio ciclotómico que vincula el hexágono con la teoría de Galois.
Key Insight
El hexágono regular es la forma más eficiente para teselar una superficie plana, usando la menor longitud de borde para encerrar la mayor área, razón por la cual las abejas usan hexágonos para los panales, así almacenan la mayor cantidad de miel con la menor cantidad de cera. Dividir el hexágono en $6$ triángulos equiláteros desde el centro revela por qué funciona su fórmula del área y muestra su simetría interna de seis pliegues, y la demostración de Hales de la conjetura del panal confirmó matemáticamente lo que las abejas parecían "saber" evolutivamente: la red hexagonal regular minimiza el perímetro total entre todas las particiones de área igual del plano.