高（高线）
gāo (gāo xiàn)
图形的高（高线）是从底到对面顶点或平行边的垂直距离。
Formula
h \text{ is perpendicular to the base}
Definition
一个图形的高（或高线）是从底到对面顶点或边的垂直距离，与底成直角（$90$ 度），绝不沿着倾斜的边测量。多边形的高线，形式上是从对面顶点画出、垂直于底边的一条线段；每个三角形都有三条高线，对应三种不同的底，对于钝角三角形，从锐角顶点出发的高线会落在三角形外部。从顶点 $A$ 到边 $a$ 的高可以计算为 $h_a = 2 \cdot \text{Area} / a$；在坐标几何中，从点 $P$ 到直线 $ax + by + c = 0$ 的高的长度为 $|ax_0 + by_0 + c| / \sqrt{a^2 + b^2}$；在三维空间中，一个立体图形的高是其两个底面之间的垂直距离。
Example
想象一个三角形就像一座倾斜的山：底是最下面的一条边，高是从底部到顶点垂直向上的直线，与底相交处形成一个直角。在以最长边为底的钝角三角形中，从顶端顶点作出的垂线的垂足可能落在三角形外部，但面积仍然是 $(1/2) \cdot \text{base} \cdot \text{altitude}$。对于面积为 $30$、底为 $10$ 的三角形，这条底边上的高为 $h = 2(30)/10 = 6$，这样只需知道面积和底就能求出缺失的高，无需坐标。
Key Insight
如果把一个三角形倾斜，高线甚至可能落在三角形之外；高线始终是垂直向上测量的，绝不沿着斜边测量。任意三角形的三条高线共点，交于一点，称为垂心，它在锐角三角形内部，在钝角三角形外部，在直角三角形则位于直角顶点处。在任意三角形中，一条边与其对应高的乘积都等于面积的两倍，$a h_a = b h_b = c h_c = 2K$，这种优雅的对称性说明三条高线在几何上具有相等的地位。