正弦函数图像
zhèng xián hán shù tú xiàng
绘制正弦图像是指画出正弦波 y = A*sin(Bx + C) + D，并确定其振幅、周期、相位移和中线。
Formula
y = A\sin(Bx + C) + D
Definition
绘制正弦图像是指画出 $y = \sin(x)$ 的波形，或经过变换的形式 $y = A\sin(Bx + C) + D$：基本曲线从 $(0, 0)$ 出发，升到 $1$，回到 $0$，降到 $-1$，再回到 $0$，跨越 $2\pi$ 的距离。要绘制一般形式，先求出振幅 $|A|$、周期 $2\pi/|B|$、相位移 $-C/B$ 和中线 $D$，然后从 $x = -C/B$ 开始，以 $\text{period}/4$ 为间隔，找出一个周期内的五个关键点。用相量记号，一般正弦函数可以写成 $\text{Im}(Ae^{i(Bx+C)}) + D$，用一个复数同时捕捉振幅和相位，这在信号处理中被广泛使用。
Example
$y = \sin(x)$ 一个周期内的关键点：$(0, 0)$、$(\pi/2, 1)$、$(\pi, 0)$、$(3\pi/2, -1)$、$(2\pi, 0)$。对于 $y = 2\sin(\pi x - \pi) + 1$：$A = 2$，周期 $= 2$，相位移 $= 1$，中线 $= 1$，得到关键点 $(1,1)$、$(1.5, 3)$、$(2,1)$、$(2.5,-1)$、$(3,1)$。在交流电路中，电压 $v(t) = 120\sqrt{2}\sin(120\pi t - \pi/6)$ V 表示有效值 $120$V、频率 $60$ Hz、相位滞后 $30^\circ$，它的相量 $120\sqrt{2}e^{-i\pi/6}$ 让所有电路计算都能用复数运算完成。
Key Insight
五个关键点（起点、最大值、中线交点、最小值、终点）足以画出任意正弦波；变换按特定顺序进行：先振幅，再周期，再相位移，最后垂直位移，分别处理每一步可以避免出错。一般正弦函数张成一个 $4$ 维参数空间 $(A, B, C, D)$，而固定频率 $B$ 的正弦函数构成一个 $3$ 维仿射子空间，这正是傅里叶分析把函数分解为固定频率正弦基的原因，每一个都由振幅和相位来刻画。