Graficar el Seno
Graficar el seno consiste en trazar la onda senoidal y = A*sin(Bx + C) + D, identificando su amplitud, periodo, desfase y línea media.
Formula
y = A\sin(Bx + C) + D
Definition
Graficar el seno significa dibujar la forma de onda de $y = \sin(x)$, o una versión transformada $y = A\sin(Bx + C) + D$: la curva básica comienza en $(0, 0)$, sube a $1$, regresa a $0$, baja a $-1$ y regresa a $0$ en una distancia de $2\pi$. Para graficar la forma general, halla la amplitud $|A|$, el periodo $2\pi/|B|$, el desfase $-C/B$ y la línea media $D$, luego ubica los cinco puntos clave de un ciclo comenzando en $x = -C/B$ e incrementando por $\text{period}/4$. En notación de fasores, la senoide general puede escribirse como $\text{Im}(Ae^{i(Bx+C)}) + D$, capturando la amplitud y la fase en un solo número complejo usado en todo el procesamiento de señales.
Example
Puntos clave para un ciclo de $y = \sin(x)$: $(0, 0)$, $(\pi/2, 1)$, $(\pi, 0)$, $(3\pi/2, -1)$, $(2\pi, 0)$. Para $y = 2\sin(\pi x - \pi) + 1$: $A = 2$, periodo $= 2$, desfase $= 1$, línea media $= 1$, dando los puntos clave $(1,1)$, $(1.5, 3)$, $(2,1)$, $(2.5,-1)$, $(3,1)$. En circuitos de corriente alterna, el voltaje $v(t) = 120\sqrt{2}\sin(120\pi t - \pi/6)$ V representa $120$V RMS a $60$ Hz con un retraso de fase de $30^\circ$, y su fasor $120\sqrt{2}e^{-i\pi/6}$ permite que todos los cálculos del circuito usen aritmética compleja.
Key Insight
Los cinco puntos clave (inicio, máximo, cruce de la línea media, mínimo, final) bastan para esbozar cualquier onda seno; las transformaciones ocurren en un orden específico, amplitud, luego periodo, luego desfase, luego desplazamiento vertical, e identificar cada una por separado evita errores. La senoide general abarca un espacio de parámetros de $4$ dimensiones $(A, B, C, D)$, y las senoides a una frecuencia fija $B$ forman un subespacio afín de $3$ dimensiones, razón por la cual el análisis de Fourier descompone funciones en una base de senoides a frecuencias fijas, cada una caracterizada por amplitud y fase.