余弦函数图像
yú xián hán shù tú xiàng
绘制余弦图像是指画出波形 y = A*cos(Bx + C) + D，它从最大值开始，呈平滑的振荡模式。
Formula
y = A\cos(Bx + C) + D
Definition
绘制余弦图像是指画出 $y = \cos(x)$ 的波形：与从零开始的正弦不同，余弦从最高点 $1$ 出发，下降，穿过零点，降到 $-1$，再回到 $1$，跨越 $2\pi$ 的距离；这个图像是正弦图像向左平移 $\pi/2$ 个单位得到的，因为 $\cos(x) = \sin(x + \pi/2)$。要绘制 $y = A\cos(Bx + C) + D$，先求出振幅 $|A|$、周期 $2\pi/|B|$、相位移 $-C/B$ 和中线 $D$，然后从最大值开始找出一个周期内的五个关键点。余弦和正弦分别是复指数 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ 的实部和虚部，而 $\{\cos(nx), \sin(nx)\}$ 构成 $L^2([0, 2\pi])$ 的一组正交基。
Example
$y = \cos(x)$ 一个周期内的关键点：$(0, 1)$、$(\pi/2, 0)$、$(\pi, -1)$、$(3\pi/2, 0)$、$(2\pi, 1)$。对于 $y = -3\cos(2x + \pi/2)$：负振幅使图像反转，因此它从最小值开始，$(-\pi/4, -3)$，在 $(0,0)$ 向上穿过零点，在 $(\pi/4, 3)$ 达到最大值。在数据分析中，对季节性温度数据进行主成分分析，通常会得到 $\cos(2\pi t/12)$ 和 $\sin(2\pi t/12)$ 作为其主要成分，投影的相位给出了最高温度出现的时间。
Key Insight
余弦图像与正弦图像形状完全相同，只是向左平移了 $\pi/2$ 个单位，负振幅（$A < 0$）会使图像相对中线反转，把最大值变成最小值，这等价于加上 $\pi$ 的相位移：$-\cos(x) = \cos(x + \pi)$。余弦和正弦是导数算子的特征函数，$d/dx[\cos(\omega x)] = -\omega\sin(\omega x)$，$d^2/dx^2[\cos(\omega x)] = -\omega^2\cos(\omega x)$，这正是正弦波成为线性微分方程自然基底的原因，也是傅里叶分析能用于求解偏微分方程的原因。