Graficar el Coseno
Graficar el coseno consiste en trazar la onda y = A*cos(Bx + C) + D, que comienza en su valor máximo y sigue un patrón oscilante suave.
Formula
y = A\cos(Bx + C) + D
Definition
Graficar el coseno significa dibujar la forma de onda de $y = \cos(x)$: a diferencia del seno, que comienza en cero, el coseno comienza en su punto más alto de $1$, desciende, cruza cero, baja a $-1$ y regresa a $1$ en una distancia de $2\pi$; la gráfica es la gráfica del seno desplazada $\pi/2$ unidades hacia la izquierda, ya que $\cos(x) = \sin(x + \pi/2)$. Para graficar $y = A\cos(Bx + C) + D$, halla la amplitud $|A|$, el periodo $2\pi/|B|$, el desfase $-C/B$ y la línea media $D$, luego ubica los cinco puntos clave de un ciclo comenzando en el máximo. El coseno y el seno son las partes real e imaginaria de la exponencial compleja, $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$, y $\{\cos(nx), \sin(nx)\}$ forman una base ortonormal de $L^2([0, 2\pi])$.
Example
Puntos clave para un ciclo de $y = \cos(x)$: $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(\pi, -1)$, $(3\pi/2, 0)$, $(2\pi, 1)$. Para $y = -3\cos(2x + \pi/2)$: la amplitud negativa refleja la gráfica, así que comienza en un mínimo, $(-\pi/4, -3)$, cruzando hacia arriba en $(0,0)$, alcanzando el máximo en $(\pi/4, 3)$. En análisis de datos, el análisis de componentes principales de datos de temperatura estacional a menudo produce $\cos(2\pi t/12)$ y $\sin(2\pi t/12)$ como sus componentes principales, con la fase de la proyección dando el momento de la temperatura máxima.
Key Insight
La gráfica del coseno tiene la misma forma que la gráfica del seno, solo que desplazada $\pi/2$ unidades hacia la izquierda, y una amplitud negativa ($A < 0$) refleja la gráfica sobre la línea media, convirtiendo máximos en mínimos, equivalente a agregar un desfase de $\pi$: $-\cos(x) = \cos(x + \pi)$. Cos y sin son funciones propias del operador derivada, $d/dx[\cos(\omega x)] = -\omega\sin(\omega x)$ y $d^2/dx^2[\cos(\omega x)] = -\omega^2\cos(\omega x)$, razón por la cual las senoides son la base natural para las ecuaciones diferenciales lineales y por la cual el análisis de Fourier funciona para resolver EDPs.