等比级数
děng bǐ jí shù
等比级数是等比数列各项的和,项数可以是有限的,也可以是无穷的。
Formula
S_n = a_1 \cdot (1 - r^n) / (1 - r)
Definition
等比级数是把一个等比数列（每一项都乘以相同比值得到的数）的各项加起来，它可以是有限的，也可以是无穷的。前 $n$ 项的和是 $S_n = a_1 \cdot (1 - r^n) / (1 - r)$（$r \neq 1$），对于 $|r| < 1$ 的无穷等比级数，$S = a_1 / (1 - r)$；这个部分和公式的推导方法是计算 $S_n - r S_n = a - ar^n$，当 $n \to \infty$ 且 $|r| < 1$ 时，$r^n \to 0$，所以 $S_n \to a/(1-r)$。等比级数实际上就是幂级数 $\sum a r^n$，是泰勒级数最简单的情形，在 $\mathbb{C}$ 中的圆盘 $|r| < 1$ 上收敛。
Example
$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ 是公比为 $2$ 的有限等比级数，而 $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$ 是公比为 $1/2$ 的无穷等比级数；把 $3 + 6 + 12 + 24 + 48$ 求和得到 $S_5 = 3 \cdot (1 - 2^5)/(1 - 2) = 93$，而无穷级数 $1 + 1/3 + 1/9 + \ldots$ 的和是 $1/(1 - 1/3) = 3/2$。这个公式也解释了循环小数：$0.333\ldots = (3/10)/(1 - 1/10) = 1/3$。幂级数 $1/(1-x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$（$|x| < 1$）是生成函数的基础；求导得到 $1/(1-x)^2 = \sum n x^{n-1}$，积分得到 $-\ln(1-x) = \sum x^n/n$。
Key Insight
如果公比小于 $1$，一个无穷等比级数可以加出一个有限的数：把无穷多个越来越小的部分加起来，仍然可以有一个极限，这正是公式 $S = a/(1-r)$ 背后的基本事实。等比级数是通往复分析的入口：它的收敛半径、解析延拓以及（在 $x = 1$ 处的）极点，都是理解一般幂级数、洛朗展开与奇点理论的模型。