Serie Geométrica
Una serie geométrica es la suma de los términos de una sucesión geométrica, con un número finito o infinito de términos.
Formula
S_n = a_1 \cdot (1 - r^n) / (1 - r)
Definition
Una serie geométrica es la suma de los términos de una sucesión geométrica, números cada uno multiplicado por la misma razón, y puede ser finita o infinita. La suma de los primeros $n$ términos es $S_n = a_1 \cdot (1 - r^n) / (1 - r)$ para $r \neq 1$, y para una serie geométrica infinita con $|r| < 1$, $S = a_1 / (1 - r)$; esta fórmula de suma parcial se deriva calculando $S_n - r S_n = a - ar^n$, y cuando $n \to \infty$ con $|r| < 1$, $r^n \to 0$ así que $S_n \to a/(1-r)$. La serie geométrica es de hecho la serie de potencias $\sum a r^n$, el caso más simple de una serie de Taylor, que converge en el disco $|r| < 1$ en $\mathbb{C}$.
Example
$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ es una serie geométrica finita con razón $2$, mientras que $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$ es infinita con razón $1/2$; sumando $3 + 6 + 12 + 24 + 48$ se obtiene $S_5 = 3 \cdot (1 - 2^5)/(1 - 2) = 93$, y la serie infinita $1 + 1/3 + 1/9 + \ldots$ suma $1/(1 - 1/3) = 3/2$. Esta fórmula también explica los decimales periódicos: $0.333\ldots = (3/10)/(1 - 1/10) = 1/3$. La serie de potencias $1/(1-x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ para $|x| < 1$ es la base de las funciones generadoras; derivando se obtiene $1/(1-x)^2 = \sum n x^{n-1}$, e integrando se obtiene $-\ln(1-x) = \sum x^n/n$.
Key Insight
Si la razón es menor que $1$, una serie geométrica infinita puede sumar un número finito: sumar infinitas piezas cada vez más pequeñas puede tener un límite, lo cual es el hecho fundamental detrás de la fórmula $S = a/(1-r)$. La serie geométrica es la puerta de entrada al análisis complejo: su radio de convergencia, continuación analítica, y polos (en $x = 1$) son modelos para entender las series de potencias generales, las expansiones de Laurent, y la teoría de singularidades.