等比数列
děng bǐ shù liè
等比数列是一列数,其中每一项都由前一项乘以一个固定常数(公比)得到。
Formula
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Definition
等比数列是一种模式，每次都乘以相同的数，即公比 $r$，从而得到下一项：$a_{n+1} = r \cdot a_n$，通项公式为 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$。若 $|r| > 1$，数列增长；若 $|r| < 1$，数列向 $0$ 收缩；若 $r < 0$，各项正负交替。等比数列实际上是把指数函数限制在 $\mathbb{N}$ 上，对应于一个群中固定元素的幂次，这类数列出现在 p 进分析（$p$ 的幂次数列）、谱理论（特征值的几何衰减）和小波理论中。
Example
$2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ 是公比为 $3$ 的等比数列，而 $100, 50, 25, 12.5, \ldots$ 的公比是 $1/2$（每次减半）。若 $a_1 = 3$，$r = 2$：数列是 $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$，第 $8$ 项是 $a_8 = 3 \cdot 2^7 = 384$。当 $|r| < 1$ 时，幂次数列 $\{r^n\}$ 的部分和收敛于 $1/(1-r)$，这是等比级数的基本结果，也是复分析中收敛半径分析的基础。
Key Insight
等比数列出现在指数增长和衰减之中：一个每小时翻倍的细菌菌落遵循公比为 $2$ 的等比数列，事实上 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = (a_1 / r) \cdot r^n$ 就是关于 $n$ 的指数函数，这解释了为什么等比数列能为增长和衰减建模。等比数列是等差数列的乘法类似物：对一个公比 $r > 0$ 的等比数列取对数，会得到一个等差数列，这通过对数与指数的对应关系把两个数列族联系了起来。