Sucesión Geométrica
Una sucesión geométrica es una lista de números donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada razón común.
Formula
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Definition
Una sucesión geométrica es un patrón donde se multiplica por el mismo número, la razón común $r$, cada vez para obtener el siguiente término: $a_{n+1} = r \cdot a_n$, con fórmula explícita $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Si $|r| > 1$ la sucesión crece, si $|r| < 1$ decrece hacia $0$, y si $r < 0$ los términos alternan de signo. Una sucesión geométrica es en realidad una función exponencial restringida a $\mathbb{N}$, correspondiente a potencias de un elemento fijo en un grupo, y tales sucesiones aparecen en análisis p-ádico (sucesiones de potencias de $p$), teoría espectral (decaimiento geométrico de valores propios), y teoría de wavelets.
Example
$2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ es geométrica con razón $3$, mientras que $100, 50, 25, 12.5, \ldots$ tiene razón $1/2$ (reduciéndose a la mitad cada vez). Con $a_1 = 3$ y $r = 2$: la sucesión es $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$, y el término $8$ es $a_8 = 3 \cdot 2^7 = 384$. La sucesión de potencias $\{r^n\}$ para $|r| < 1$ tiene sumas parciales que convergen a $1/(1-r)$, el resultado fundamental de la serie geométrica que sustenta el análisis del radio de convergencia en análisis complejo.
Key Insight
Las sucesiones geométricas aparecen en el crecimiento y decaimiento exponencial: una colonia de bacterias que se duplica cada hora sigue una sucesión geométrica con razón $2$, y de hecho $a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = (a_1 / r) \cdot r^n$ es una función exponencial de $n$, explicando por qué las sucesiones geométricas modelan el crecimiento y el decaimiento. Las sucesiones geométricas son los análogos multiplicativos de las sucesiones aritméticas: tomar logaritmos de una sucesión geométrica (con $r > 0$) produce una sucesión aritmética, vinculando ambas familias mediante la correspondencia logaritmo-exponencial.