频数表
pín shù biǎo
频数表是一种图表，列出数据中的各个值或类别及其出现的次数。
Definition
频数表是一种有条理的图表，显示一组数据中每个值或类别出现的次数，便于看出哪些值最常见或最少见。它列出每个唯一值（对于分组数据则是分组区间）、其频数（计数），通常还有相对频数（比例）；对于连续数据，分组频数表使用称为"组"的区间。形式上，频数表将样本空间划分为 $k$ 个互斥的组 $C_1, \ldots, C_k$，并记录计数 $n_1, \ldots, n_k$，其和为 $n$；它是卡方拟合优度检验的输入，也是对底层分布的一种离散近似，不过分组版本会丢失单个数据值，使得精确的分位数计算不再可能。
Example
一项对 $20$ 名学生最喜欢颜色的调查得到这样的频数表：蓝色：$8$，红色：$5$，绿色：$4$，黄色：$3$，显示蓝色最受欢迎。分组的测验分数可能是：$60$-$69$（频数 $3$，相对频数 $0.12$）、$70$-$79$（频数 $8$，相对频数 $0.32$）、$80$-$89$（频数 $10$，相对频数 $0.40$）、$90$-$100$（频数 $4$，相对频数 $0.16$），共计 $25$ 名学生。斯特吉斯法则 $k = \lceil 1 + \log_2 n \rceil$ 和斯科特法则 $h = 3.5 s n^{-1/3}$（其中 $h$ 是组距，$s$ 是样本标准差）是选择分组区间的合理方法，能在分辨率和平滑度之间取得平衡。
Key Insight
频数表是理解数据的最初步骤之一，把一份杂乱的清单变成清晰、有条理的摘要。选择合适的分组数很重要：太少会掩盖细节，太多会产生噪声，一个常见的准则是 $5$ 到 $20$ 组。卡方检验将观察到的频数表与期望的频数表进行比较，检验统计量为 $\chi^2 = \sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$，在原假设下服从自由度为 $k-1-p$ 的卡方分布，其中 $p$ 是被估计参数的个数。