分数
fēn shù
分数表示整体或一组物体中的一部分，写成一个数在另一个数上方、中间用一条线隔开的形式。
Formula
\frac{a}{b} \text{ (where } b \neq 0 \text{)}
Definition
分数是表示一个整体或一组物体中一部分的方法，写成两个数字中间夹一条线，例如$3/4$：下面的数字（分母）表示整体被分成了多少等份，上面的数字（分子）表示你拥有其中的多少份。更精确地说，分数$a/b$是两个整数的商，其中$b$不为零，它可以表示部分与整体的比例、一种除法运算，或数轴上的一个点；它可以是真分数（$a < b$）、假分数（$a \ge b$），或写成带分数的形式。从形式上讲，$a/b$是有理数集$\mathbb{Q}$中的一个元素，定义为有序数对$(a, b)$（其中$b \neq 0$）在关系$(a, b) \sim (c, d)$当且仅当$ad = bc$下的等价类；$\mathbb{Q}$本身是整数$\mathbb{Z}$的分式域，是包含$\mathbb{Z}$的最小的域。
Example
把一个比萨饼切成$8$等份，吃掉其中$3$份：你吃了这个比萨饼的$3/8$，因为整体被分成了$8$份，而你有$3$份。同样的想法可以进一步延伸：$5/6$表示$5$除以$6$，在数轴上它位于$0$和$1$之间，更靠近$1$；假分数$7/4$等于带分数$1$又$3/4$。像$2/3$、$4/6$和$8/12$这样的分数都表示同一个有理数，属于同一个等价类，这种构造可以推广：对任意整环$R$，其分式域$\text{Frac}(R)$都是由数对$(a, b)$（其中$b \neq 0$）的等价类构造出来的。
Key Insight
分数只有在各部分相等时才有意义，把一个比萨饼切得不均匀，其中一半并不真正是$1/2$；相等的份数才使分数变得公平且有用。分数不仅仅是形状的一部分：每个分数$a/b$都在数轴上标示出一个精确的位置，这使得分数和整数一样精确。$\mathbb{Q}$由$\mathbb{Z}$构造出来的过程，与实数通过柯西序列或戴德金分割由$\mathbb{Q}$构造出来的过程如出一辙，这也说明了任何整环都可以嵌入到一个域中：分数正是保证除法得以进行的代数机制。