Fracción
Una fracción representa una parte de un todo, escrita como un número sobre otro separados por una línea.
Formula
\frac{a}{b} \text{ (where } b \neq 0 \text{)}
Definition
Una fracción es una forma de mostrar parte de un todo o parte de un grupo, escrita como dos números con una línea entre ellos, como $3/4$: el número de abajo (denominador) indica en cuántas partes iguales se divide el todo, y el número de arriba (numerador) indica cuántas de esas partes tienes. Más precisamente, una fracción $a/b$ es el cociente de dos números enteros donde $b$ no es cero, y expresa una razón de partes a un todo, una operación de división, o un punto en la recta numérica; puede ser propia ($a < b$), impropia ($a \ge b$), o escribirse como un número mixto. Formalmente, $a/b$ es un elemento de los números racionales $\mathbb{Q}$, definido como la clase de equivalencia de pares ordenados $(a, b)$ con $b \neq 0$ bajo la relación $(a, b) \sim (c, d)$ si y solo si $ad = bc$; el propio $\mathbb{Q}$ es el cuerpo de fracciones de los enteros $\mathbb{Z}$, el cuerpo más pequeño que contiene a $\mathbb{Z}$.
Example
Corta una pizza en $8$ rebanadas iguales y come $3$ de ellas: comiste $3/8$ de la pizza, ya que el todo se dividió en $8$ partes y tú tenías $3$. La misma idea se extiende más allá: $5/6$ significa $5$ dividido entre $6$, y en una recta numérica se ubica entre $0$ y $1$, más cerca de $1$; la fracción impropia $7/4$ equivale a $1$ y $3/4$ como número mixto. Fracciones como $2/3$, $4/6$ y $8/12$ nombran todas el mismo número racional, pertenecen a la misma clase de equivalencia, y esta construcción se generaliza: para cualquier dominio íntegro $R$, el cuerpo de fracciones $\text{Frac}(R)$ se construye a partir de clases de equivalencia de pares $(a, b)$ con $b \neq 0$.
Key Insight
Las fracciones solo tienen sentido cuando las partes son iguales, la mitad de una pizza cortada de manera desigual no es realmente $1/2$; las partes iguales son lo que hace que las fracciones sean justas y útiles. Sin embargo, no son solo partes de figuras: cada fracción $a/b$ nombra una ubicación exacta en la recta numérica, lo que hace que las fracciones sean tan precisas como los números enteros. La construcción de $\mathbb{Q}$ a partir de $\mathbb{Z}$ refleja cómo se construyen los números reales a partir de $\mathbb{Q}$ mediante sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind, y muestra que todo dominio íntegro se incrusta en un cuerpo: las fracciones son el mecanismo algebraico que garantiza la división.