FOIL 法
FOIL fǎ
FOIL 是记忆两个二项式相乘的口诀：首项、外项、内项、末项，代表需要相乘的四对项。
Formula
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Definition
FOIL 是记忆两个二项式 $(a + b)(c + d)$ 相乘的口诀：先乘首项（First，即 $ac$），再乘外项（Outer，即 $ad$），然后乘内项（Inner，即 $bc$），最后乘末项（Last，即 $bd$），再合并同类项。它其实只是环 $F[x]$ 中分配律的一种记号简写，并不能直接推广到三个或更多二项式相乘，或多于两项的多项式相乘，那些情形需要完整的柯西积（分配律）方法。
Example
$(x + 3)(x + 7)$：首项 $x \cdot x = x^2$，外项 $x \cdot 7 = 7x$，内项 $3 \cdot x = 3x$，末项 $3 \cdot 7 = 21$；相加得到 $x^2 + 10x + 21$。$(2x - 5)(3x + 4)$：F 为 $6x^2$，O 为 $8x$，I 为 $-15x$，L 为 $-20$，求和得到 $6x^2 - 7x - 20$。像 $(a+b)(c+d)(e+f)$ 这样的乘积，需要先对其中两个因式使用 FOIL 法，再把结果与第三个因式分配相乘，合并前最多可得 $8$ 项。
Key Insight
FOIL 法只适用于恰好两个二项式相乘；对更大的多项式，需要完整的分配律。当外项与内项的乘积是同类项时，FOIL 的四项常常会合并为三项，识别它们何时相互抵消（平方差）或加倍（完全平方三项式）能节省步骤。FOIL 其实只是为一种特定情形编码分配律的教学工具，理解它为什么有效，因为乘法在任何环中都对加法满足分配律，才是所有多项式乘积背后的一般原理。