Método FOIL
FOIL es una regla mnemotécnica para multiplicar dos binomios: Primeros, Externos, Internos, Últimos, que representan los cuatro pares de términos que se deben multiplicar.
Formula
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Definition
FOIL es una regla mnemotécnica para multiplicar dos binomios $(a + b)(c + d)$: multiplica los términos Primeros ($ac$), los términos Externos ($ad$), los términos Internos ($bc$), y los términos Últimos ($bd$), y luego combina términos semejantes. Es simplemente un atajo notacional para la ley distributiva en el anillo $F[x]$, y no se generaliza directamente a productos de tres o más binomios o a polinomios con más de dos términos, esos requieren el enfoque completo del producto de Cauchy (distributivo).
Example
$(x + 3)(x + 7)$: Primeros $x \cdot x = x^2$, Externos $x \cdot 7 = 7x$, Internos $3 \cdot x = 3x$, Últimos $3 \cdot 7 = 21$; sumando se obtiene $x^2 + 10x + 21$. $(2x - 5)(3x + 4)$: P $6x^2$, E $8x$, I $-15x$, U $-20$, sumando $6x^2 - 7x - 20$. Un producto como $(a+b)(c+d)(e+f)$ requiere aplicar FOIL a dos de los factores primero, y luego distribuir el resultado sobre el tercero, dando hasta $8$ términos antes de combinar.
Key Insight
FOIL solo funciona para exactamente dos binomios; para polinomios más grandes, se necesita la propiedad distributiva completa. Los cuatro términos de FOIL a menudo se reducen a tres una vez que los productos externo e interno se combinan (son términos semejantes), y reconocer cuándo se cancelan (diferencia de cuadrados) o se duplican (trinomio cuadrado perfecto) ahorra pasos. FOIL es en realidad solo un recurso pedagógico que codifica la ley distributiva para un caso específico; entender por qué funciona, porque la multiplicación se distribuye sobre la suma en cualquier anillo, da el principio general detrás de todo producto de polinomios.