一阶导数判别法
yī jiē dǎo shù pàn bié fǎ
一阶导数判别法通过检验导数在该点处是否变号,来判断一个临界点是局部最大值、局部最小值,还是两者都不是。
Definition
找到临界点后，一阶导数判别法检查该点前后导数的符号：如果符号由 $+$ 变为 $-$，那是局部最大值；如果由 $-$ 变为 $+$，那是局部最小值；如果符号没有变化，该点两者都不是（可能是拐点）。这种符号分析技巧只需要 $f'$ 在 $c$ 附近的符号，而不需要它的大小，所以即使 $f''$ 不存在也同样适用，它直接来自中值定理所建立的单调性与 $f'$ 符号之间的关系。
Example
想象徒步旅行：如果你原本在下坡，然后开始上坡，那你刚经过一个山谷（局部最小值）；下坡再上坡意味着你到达了一个山峰（局部最大值）。对于 $f(x) = x^3 - 3x$，临界点在 $x = \pm 1$：在 $x = -1$ 处，$f'$ 由 $+$ 变为 $-$（局部最大值，$f(-1)=2$）；在 $x = 1$ 处，$f'$ 由 $-$ 变为 $+$（局部最小值，$f(1)=-2$）。即使导数不存在，符号分析依然有效：$f(x) = x^{2/3}$ 在 $0$ 处有局部最小值，尽管 $f'(0)$ 没有定义。
Key Insight
一阶导数判别法比二阶导数判别法用途更广，因为即使在临界点处 $f'' = 0$ 或不存在，它依然有效。在变分法中，与一阶导数判别法类似的是欧拉-拉格朗日方程：一个泛函在其"导数"（泛函导数）为零处取得临界点。