Criterio de la Primera Derivada
El criterio de la primera derivada clasifica un punto crítico como máximo local, mínimo local o ninguno de los dos, comprobando si la derivada cambia de signo ahí.
Definition
Después de encontrar un punto crítico, el criterio de la primera derivada revisa el signo de la derivada justo antes y justo después de ese punto: si el signo pasa de $+$ a $-$, es un máximo local, si pasa de $-$ a $+$, es un mínimo local, y si el signo no cambia, el punto no es ninguno de los dos (posiblemente un punto de inflexión). Esta técnica de análisis de signos solo requiere el signo de $f'$ cerca de $c$, no su magnitud, así que es aplicable incluso cuando $f''$ no existe, y se deduce directamente de la relación entre monotonía y el signo de $f'$ establecida por el Teorema del Valor Medio.
Example
Piensa en una caminata: si ibas cuesta abajo y luego empiezas a ir cuesta arriba, acabas de pasar por un valle (mínimo local); cuesta abajo y luego cuesta arriba significa que llegaste a un pico (máximo local). Para $f(x) = x^3 - 3x$, puntos críticos en $x = \pm 1$: en $x = -1$, $f'$ pasa de $+$ a $-$ (máximo local, $f(-1)=2$); en $x = 1$, $f'$ pasa de $-$ a $+$ (mínimo local, $f(1)=-2$). Incluso donde la derivada no existe, el análisis de signos sigue funcionando: $f(x) = x^{2/3}$ tiene un mínimo local en $0$ aunque $f'(0)$ no esté definida.
Key Insight
El criterio de la primera derivada es más versátil que el de la segunda derivada porque funciona incluso cuando $f'' = 0$ en el punto crítico o no existe ahí. En el cálculo de variaciones, el análogo del criterio de la primera derivada es la ecuación de Euler-Lagrange: un funcional tiene un punto crítico donde su "derivada" (derivada funcional) se anula.