三项式的因式分解
sān xiàng shì de yīn shì fēn jiě
三项式的因式分解是指把一个三项多项式（通常形式为 $ax^2 + bx + c$）表示为两个二项式之积。
Formula
ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)
Definition
三项式的因式分解是指找出两个相乘能还原它的二项式；对首项系数为 $1$ 的 $x^2 + bx + c$ 而言，要找到两个数 $p$ 和 $q$，使它们的积为 $c$，和为 $b$。对 $a \neq 1$ 的 $ax^2 + bx + c$ 而言，使用"ac 法"：找到两个数，使它们的积为 $ac$，和为 $b$，把中间项拆开，再用分组法分解。一个三项式在 $\mathbb{Q}$ 上可因式分解，当且仅当它的判别式 $b^2 - 4ac$ 是一个完全平方数；分解形式 $a(x - r_1)(x - r_2)$ 中的根 $r_1$、$r_2$ 满足韦达定理，$r_1 + r_2 = -b/a$，$r_1r_2 = c/a$，把根与系数直接联系起来。
Example
分解 $x^2 + 7x + 12$：积为 $12$、和为 $7$ 的两个数是 $3$ 和 $4$，得到 $(x + 3)(x + 4)$。分解 $2x^2 + 7x + 3$：$ac = 6$，需要和为 $7$，所以是 $6$ 和 $1$：拆分为 $2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3)$。$6x^2 - 5x - 6$ 的判别式为 $25 + 144 = 169 = 13^2$，得到根 $(5 \pm 13)/12 = 3/2$ 或 $-2/3$，所以它分解为 $(2x-3)(3x+2)$。
Key Insight
"积与和"技巧，即列出 $c$ 的因数对，找出和为 $b$ 的那一对，实际上是在寻找整数根；如果不存在这样的整数，该三项式在整数范围内就不能分解，此时需要用求根公式来求出无理根。韦达定理可以推广到任意 $n$ 次多项式：根的初等对称多项式等于系数（相差一个符号和首项系数），无需求解方程就能把根与系数联系起来。