Factorización de Trinomios
Factorizar trinomios significa expresar un polinomio de tres términos, usualmente de la forma $ax^2 + bx + c$, como un producto de dos binomios.
Formula
ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)
Definition
Factorizar un trinomio significa encontrar dos binomios que, al multiplicarse, lo reproducen; para $x^2 + bx + c$ (coeficiente principal $1$), encuentra dos números $p$ y $q$ con producto $c$ y suma $b$. Para $ax^2 + bx + c$ donde $a \neq 1$, usa el "método ac": encuentra dos números con producto $ac$ y suma $b$, divide el término medio, y luego factoriza por agrupación. Un trinomio se factoriza sobre $\mathbb{Q}$ si y solo si su discriminante $b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto; las raíces $r_1$ y $r_2$ de la forma factorizada $a(x - r_1)(x - r_2)$ satisfacen las fórmulas de Vieta, $r_1 + r_2 = -b/a$ y $r_1r_2 = c/a$, conectando las raíces directamente con los coeficientes.
Example
Factorizar $x^2 + 7x + 12$: dos números con producto $12$ y suma $7$ son $3$ y $4$, dando $(x + 3)(x + 4)$. Factorizar $2x^2 + 7x + 3$: $ac = 6$, necesitando suma $7$, así que $6$ y $1$: se divide como $2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3)$. $6x^2 - 5x - 6$ tiene discriminante $25 + 144 = 169 = 13^2$, dando raíces $(5 \pm 13)/12 = 3/2$ o $-2/3$, así que se factoriza como $(2x-3)(3x+2)$.
Key Insight
El truco de "producto y suma," listar pares de factores de $c$ para encontrar el que suma $b$, es en realidad una búsqueda de raíces enteras; si no existen tales enteros, el trinomio no se factoriza sobre los enteros, y se necesita la fórmula cuadrática para encontrar raíces irracionales en su lugar. Las fórmulas de Vieta se generalizan a cualquier polinomio de grado $n$: los polinomios simétricos elementales de las raíces son iguales a los coeficientes (salvo signo y coeficiente principal), conectando las raíces con los coeficientes sin resolver nunca la ecuación.