阶乘
jiē chéng
非负整数 n 的阶乘，记作 n!，是从 1 到 n 的所有正整数的乘积。
Formula
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1
Definition
一个数的阶乘（用感叹号表示）意味着把这个数乘以比它小的每一个正整数，一直乘到 $1$。形式上，$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 1$ 计算把 $n$ 个不同物品排成一行的方式数，递归定义为 $n! = n(n-1)!$，基本情形为 $0! = 1$，阶乘出现在排列和组合公式中。阶乘通过伽马函数推广到非整数：对正整数，$\Gamma(n) = (n-1)!$，由 $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ 定义；斯特林近似公式 $\ln(n!) \approx n\ln n - n + 0.5\ln(2\pi n)$ 给出对大 $n$ 而言 $n! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$。
Example
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$，按定义 $0! = 1$；阶乘增长得非常快，$10! = 3{,}628{,}800$。$7$ 本书摆在书架上有多少种排法？$7! = 5{,}040$ 种，再多放一本书会把可能性再乘以 $8$：$8! = 40{,}320$。在二项分布的正态近似中，斯特林公式表明，对大 $n$ 而言 $C(2n,n) \approx 4^n/\sqrt{\pi n}$，这一结果是将正态分布推导为二项分布极限的基础。
Key Insight
阶乘计算把事物按顺序排列的方式数：$5! = 120$ 意味着 $5$ 件事物有 $120$ 种不同的排列方式，但它们增长得如此之快，以至于对大 $n$ 直接计算变得不切实际，这就是为什么统计学和物理学中会使用斯特林近似。伽马函数满足 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$，这一结果把概率论与几何联系了起来，它出现在卡方分布、t 分布和 F 分布的概率密度函数中，这些分布都由正态随机变量构建而成，并在推断中被广泛使用。