Factorial
El factorial de un entero no negativo n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos de 1 a n.
Formula
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1
Definition
El factorial de un número (escrito con un signo de exclamación) significa multiplicar ese número por cada número entero menor que él, hasta llegar a 1. Formalmente, $n! = n(n-1)(n-2)\cdots 1$ cuenta el número de formas de organizar $n$ objetos distintos en una fila, definido recursivamente como $n! = n(n-1)!$ con caso base $0! = 1$, y los factoriales aparecen en las fórmulas de permutaciones y combinaciones. El factorial se extiende a los no enteros mediante la función Gamma: $\Gamma(n) = (n-1)!$ para enteros positivos, definida por $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$; la aproximación de Stirling, $\ln(n!) \approx n\ln n - n + 0.5\ln(2\pi n)$, da $n! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ para $n$ grande.
Example
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$, y por definición $0! = 1$; los factoriales crecen muy rápidamente, con $10! = 3{,}628{,}800$. ¿De cuántas formas se pueden organizar $7$ libros en un estante? $7! = 5{,}040$ formas, y agregar un libro más multiplica las posibilidades por $8$: $8! = 40{,}320$. En la aproximación normal a la binomial, la fórmula de Stirling muestra que $C(2n,n) \approx 4^n/\sqrt{\pi n}$ para $n$ grande, un resultado que sustenta la derivación de la distribución normal como límite de la distribución binomial.
Key Insight
Los factoriales cuentan el número de formas de organizar cosas en orden: $5! = 120$ significa que hay $120$ órdenes diferentes para $5$ cosas, pero crecen tan rápidamente que se vuelven poco prácticos de calcular directamente para $n$ grande, razón por la cual se usa la aproximación de Stirling en la estadística y la física. La función Gamma satisface $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, un resultado que conecta la teoría de la probabilidad con la geometría, y aparece en la PDF de las distribuciones chi-cuadrado, t, y F, todas construidas a partir de variables aleatorias normales y usadas extensamente en la inferencia.