因数
yīn shù
因数是能整除另一个数、不留余数的数。
Definition
一个数的因数能整除该数且不留余数；每个数至少有两个因数：$1$ 和它本身。形式上，$n$ 的因数是任意满足 $n / d$ 也是正整数的正整数 $d$（即 $d \mid n$ 且无余数），每个大于 $1$ 的整数 $n$ 都可以分解为质数的乘积，若 $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots$，则 $n$ 的因数个数为 $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$。在交换环 $R$ 中，若存在 $R$ 中的 $c$ 使得 $b = ac$，则称 $a$ 是 $b$ 的一个因数；唯一分解整环（UFD）把 $\mathbb{Z}$ 的这一性质加以推广，在其中每个元素都能唯一地分解为不可约元素，例如 $\mathbb{Z}[x]$、$\mathbb{Q}[x]$ 和 $\mathbb{Z}[i]$。
Example
$12$ 的因数是 $1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$12$，因为它们都能整除 $12$，而 $5$ 不是因数，因为 $12 / 5 = 2$ 余 $2$。$60 = 2^2 \times 3 \times 5$，所以因数个数为 $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$：$1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$。$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是唯一分解整环：$6 = 2 \times 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$，存在两种不同的不可约分解，正是这种失败促使库默尔和戴德金发展出了理想理论。
Key Insight
寻找因数就像寻找把物体排成若干等长行列的所有方式：$12$ 个物体可以排成 $1\times12$、$2\times6$ 或 $3\times4$ 的行列。计算因数个数的公式 $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$ 是算术基本定理以及各质数指数相互独立这一事实的直接推论。某些环中唯一分解性质的失效并非病态现象，而是一种深刻的结构特征；理想理论在理想的层面上恢复了唯一性，构成了代数数论的基础。