Factor
Un factor es un número que divide de manera exacta a otro número, sin dejar residuo.
Definition
Un factor de un número lo divide de manera exacta, sin que sobre nada; todo número tiene al menos dos factores, $1$ y él mismo. Formalmente, un factor de $n$ es cualquier entero positivo $d$ tal que $n / d$ también es un entero positivo ($d \mid n$ sin residuo), y todo entero $n > 1$ tiene una factorización en primos, siendo el número de factores de $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots$ igual a $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$. En un anillo conmutativo $R$, $a$ es un factor de $b$ si existe $c$ en $R$ tal que $b = ac$; los dominios de factorización única (UFD, por sus siglas en inglés) generalizan a $\mathbb{Z}$, donde todo elemento se factoriza de manera única en irreducibles, como en $\mathbb{Z}[x]$, $\mathbb{Q}[x]$, y $\mathbb{Z}[i]$.
Example
Los factores de $12$ son $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, y $12$, porque cada uno divide a $12$ exactamente, mientras que $5$ no es un factor ya que $12 / 5 = 2$ residuo $2$. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, así que el número de factores es $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$. $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ NO es un UFD: $6 = 2 \times 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$, dos factorizaciones irreducibles distintas, un fallo que motivó el desarrollo de la teoría de ideales por Kummer y Dedekind.
Key Insight
Hallar factores es como encontrar todas las formas de organizar objetos en filas iguales: $12$ objetos se pueden organizar en filas de $1\times12$, $2\times6$, o $3\times4$. La fórmula $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$ para contar divisores es una consecuencia directa del Teorema Fundamental de la Aritmética y de la independencia del exponente de cada primo. El fallo de la factorización única en algunos anillos no es una patología sino una característica estructural profunda; la teoría de ideales restaura la unicidad al nivel de los ideales, formando el fundamento de la teoría algebraica de números.