三角形的外角
sān jiǎo xíng de wài jiǎo
三角形的外角由一条边和相邻边的延长线构成，其度数等于两个不相邻内角之和。
Formula
\text{exterior angle} = \text{sum of two non-adjacent interior angles}
Definition
三角形的外角是由一条边和相邻边越过顶点的延长线所形成的角。外角定理(欧几里得第一卷命题32)指出，它等于两个不相邻(远端)内角之和，也等于 $180^\circ$ 减去相邻的内角，因为它们构成一对邻补角：如果 $C$ 是内角，$D$ 是 $C$ 处的外角，那么 $A+B+C=180$，$C+D=180$，所以 $D=A+B$。
Example
如果一个三角形的角是 $50^\circ$、$60^\circ$、$70^\circ$，延长经过 $50^\circ$ 顶点的边所形成的外角等于 $60+70=130^\circ$，即它的两个"对面"角之和。对于 $A=45$，$B=65$，$C=70$ 的三角形：在 $C$ 处的外角(延长边 $BC$ 越过 $C$)等于 $A+B=110^\circ$，与另一种方法得到的 $180-70=110$ 一致。
Key Insight
三角形的外角总是大于两个不相邻内角中的任意一个，这就是外角不等式(欧几里得第一卷命题16)，它被用来证明三角形最长边与其最大角相对，以及凸多边形所有外角之和为 $360^\circ$。这个不等式比等式版本更为基本：它不需要平行公设就能证明，在双曲几何中依然成立，这标志着它是"中性"几何的一个定理，而等式版本则需要平行公设，这一区别揭示了角和关系与这条单一公理之间的深刻联系。