指数增长
zhǐ shù zēng zhǎng
指数增长是指一个量在相等的时间间隔内按恒定的百分比增加,从而使增长速度越来越快。
Formula
A(t) = A_0 \cdot b^t, b > 1
Definition
指数增长发生在一个量不断乘以相同的数时：它一开始增长缓慢，然后急速攀升。模型是 $A(t) = A_0 \cdot b^t$，其中 $A_0$ 是初始量，$b > 1$ 是增长因子，$t$ 是时间，等价地也可写成 $A(t) = A_0 \cdot e^{rt}$，其中 $r > 0$ 是连续增长率。它是常微分方程 $dA/dt = rA$（$r > 0$）的解：$A(t) = A_0 e^{rt}$，是唯一（在尺度意义下）与自身导数成比例的函数；在离散时间中，它出现在特征值大于 $1$ 的线性映射中，在种群模型中则表现为马尔萨斯增长模型。
Example
一个每小时翻倍的细菌种群遵循 $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$，$10$ 小时后达到 $1{,}024$，$20$ 小时后超过一百万，增长速度迅速加快。一笔 $\$1{,}000$、年利率 $6\%$ 按年复利计算的投资，$A(t) = 1000 \cdot (1.06)^t$，$12$ 年后增长到约 $\$2{,}012$，与"72 法则"的估计（$72/6 = 12$ 年翻倍）相符。洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物模型通过引入非线性耦合偏离了纯粹的指数增长：在平衡点附近，线性化显示出指数模式，但远离平衡点时，非线性项占主导。
Key Insight
指数增长具有迷惑性，因为它一开始看起来很慢，然后突然爆发式增长，第一次翻倍似乎微不足道，但最终会占据主导；它有一个恒定的倍增时间，$\ln(2)/r$，与你从何时开始测量无关，这是区分它与多项式增长的一个决定性性质。指数增长在物理系统中终究是有限的：逻辑斯谛增长模型 $A'(t) = rA(1 - A/K)$ 引入了环境容纳量 $K$，使增长放缓并趋于稳定，在 $t=0$ 附近近似指数行为，但在接近 $K$ 时趋于稳定。