Crecimiento Exponencial
El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta a una tasa porcentual constante en intervalos de tiempo iguales, haciendo que crezca cada vez más rápido.
Formula
A(t) = A_0 \cdot b^t, b > 1
Definition
El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad sigue multiplicándose por el mismo número una y otra vez: comienza lentamente pero luego se dispara muy rápido. El modelo es $A(t) = A_0 \cdot b^t$, donde $A_0$ es la cantidad inicial, $b > 1$ es el factor de crecimiento, y $t$ es el tiempo, equivalentemente $A(t) = A_0 \cdot e^{rt}$ donde $r > 0$ es la tasa de crecimiento continua. Es la solución de la EDO $dA/dt = rA$ ($r > 0$): $A(t) = A_0 e^{rt}$, la única función (salvo escala) proporcional a su propia derivada; en tiempo discreto surge en aplicaciones lineales con valor propio mayor que $1$, y en modelos de población como el modelo de crecimiento malthusiano.
Example
Una población de bacterias que se duplica cada hora sigue $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$, alcanzando $1{,}024$ después de $10$ horas y más de un millón después de $20$, con el crecimiento acelerándose rápidamente. Una inversión de $\$1{,}000$ al $6\%$ de interés anual compuesto anualmente, $A(t) = 1000 \cdot (1.06)^t$, crece a aproximadamente $\$2{,}012$ después de $12$ años, coincidiendo con la estimación de la "Regla del 72" ($72/6 = 12$ años para duplicarse). El modelo depredador-presa de Lotka-Volterra se aparta del crecimiento exponencial puro al introducir un acoplamiento no lineal: cerca del equilibrio, la linealización muestra modos exponenciales, pero lejos del equilibrio los términos no lineales dominan.
Key Insight
El crecimiento exponencial es engañoso porque parece lento al principio y luego se vuelve explosivo, la primera duplicación no parece gran cosa, pero eventualmente toma el control, y tiene un tiempo de duplicación constante, $\ln(2)/r$ sin importar cuándo empieces a medir, lo cual es una propiedad definitoria que lo distingue del crecimiento polinómico. El crecimiento exponencial está en última instancia limitado en los sistemas físicos: el modelo de crecimiento logístico $A'(t) = rA(1 - A/K)$ introduce una capacidad de carga $K$, provocando que el crecimiento se desacelere y se estabilice, aproximando el comportamiento exponencial cerca de $t=0$ pero estabilizándose cerca de $K$.