指数函数
zhǐ shù hán shù
指数函数的形式为 $f(x) = a \cdot b^x$,其中变量出现在指数位置,底数 $b$ 是不等于 $1$ 的正常数。
Formula
f(x) = a \cdot b^x
Definition
指数函数的变量出现在指数位置：$f(x) = a \cdot b^x$，其中 $a$ 是初始值，$b > 0$ 且 $b \neq 1$，$x$ 是指数；每当 $x$ 增加 $1$，输出就乘以底数 $b$，当 $b > 1$ 时增长，当 $0 < b < 1$ 时衰减。定义域是全体实数，值域是全体正实数（当 $a > 0$ 时）。严格地说，指数函数 $\exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是方程 $f'(x) = f(x)$ 且 $f(0) = 1$ 的唯一解，由幂级数 $\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n / n!$ 定义；欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 通过 $\exp(ix) = \cos(x) + i\sin(x)$ 把它与三角学联系起来。
Example
$f(x) = 2^x$ 给出 $f(0) = 1$，$f(1) = 2$，$f(2) = 4$，$f(3) = 8$，每一步都翻倍，这称为指数增长。一个存有 $\$500$、年利率 $4\%$ 的银行账户，$A(t) = 500 \cdot (1.04)^t$，$10$ 年后增长到约 $\$740.12$，其中 $y$ 截距总是等于 $a$（因为 $b^0 = 1$）。解方程 $dy/dt = ky$ 得到 $y(t) = y_0 \cdot e^{kt}$，这是物理学（核衰变）、生物学（种群增长）和金融学（连续复利，$A = Pe^{rt}$）中各种模型的基础。
Key Insight
指数函数以恒定的倍数而非恒定的加数增长或缩小，所以翻倍的速度比不断相加快得多：一个每年翻倍的种群，从 $1$ 开始约 $10$ 年就能达到 $1{,}000$。自然底数 $e \approx 2.718$ 之所以特别，是因为 $e^x$ 是自身的导数，这正是指数函数能够为复利、种群增长、放射性衰变和冷却过程建模的原因。指数映射从 $\mathbb{R}$ 推广到李群，$\exp: g \to G$ 把李代数映射到李群，将无穷小对称性编码为整体变换。