Función Exponencial
Una función exponencial tiene la forma $f(x) = a \cdot b^x$, donde la variable aparece como el exponente y la base $b$ es una constante positiva distinta de $1$.
Formula
f(x) = a \cdot b^x
Definition
Una función exponencial tiene la variable en el exponente: $f(x) = a \cdot b^x$, donde $a$ es el valor inicial, $b > 0$, $b \neq 1$, y $x$ es el exponente; cada vez que $x$ aumenta en $1$, la salida se multiplica por la base $b$, creciendo si $b > 1$ y decayendo si $0 < b < 1$. El dominio es todos los reales y el rango es todos los reales positivos (para $a > 0$). Formalmente, la función exponencial $\exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es la única solución a $f'(x) = f(x)$ con $f(0) = 1$, definida por la serie de potencias $\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n / n!$; la identidad de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$ la conecta con la trigonometría mediante $\exp(ix) = \cos(x) + i\sin(x)$.
Example
$f(x) = 2^x$ da $f(0) = 1$, $f(1) = 2$, $f(2) = 4$, $f(3) = 8$, duplicándose en cada paso, lo cual se llama crecimiento exponencial. Una cuenta bancaria con $\$500$ al $4\%$ de interés anual, $A(t) = 500 \cdot (1.04)^t$, crece a aproximadamente $\$740.12$ después de $10$ años, con la intersección en $y$ siempre igual a $a$ (ya que $b^0 = 1$). Resolver $dy/dt = ky$ da $y(t) = y_0 \cdot e^{kt}$, sustentando modelos en física (desintegración nuclear), biología (crecimiento poblacional), y finanzas (interés compuesto continuo, $A = Pe^{rt}$).
Key Insight
Las funciones exponenciales crecen o disminuyen por un multiplicador constante en lugar de una suma constante, así que duplicarse es mucho más rápido que sumar: una población que se duplica cada año alcanza $1{,}000$ en aproximadamente $10$ años partiendo de $1$. La base natural $e \approx 2.718$ es especial porque $e^x$ es su propia derivada, razón por la cual las funciones exponenciales modelan el interés compuesto, el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el enfriamiento. La aplicación exponencial se generaliza de $\mathbb{R}$ a grupos de Lie, $\exp: g \to G$ envía el álgebra de Lie al grupo, codificando simetrías infinitesimales como transformaciones globales.