指数衰减
zhǐ shù shuāi jiǎn
指数衰减是指一个量在相等的时间间隔内按恒定的百分比减少,一开始下降很快,之后逐渐变慢。
Formula
A(t) = A_0 \cdot b^t, 0 < b < 1
Definition
指数衰减发生在某个量每个时间段都按相同比例缩小时，一开始下降很快，然后越来越慢，永远不会真正达到零。它遵循 $A(t) = A_0 \cdot b^t$（$0 < b < 1$），等价地也可写成 $A(t) = A_0 \cdot e^{-rt}$，其中 $r > 0$ 是衰减率，半衰期 $T_{1/2} = \ln(2)/r$ 是减少到一半所需的时间。它是常微分方程 $dA/dt = -rA$（$r > 0$）的解：$A(t) = A_0 e^{-rt}$；在量子力学中，不稳定粒子按指数规律衰减，存活到时间 $t$ 的概率是 $e^{-t/\tau}$，其中 $\tau$ 是平均寿命，放射性衰变在单个原子核层面上以概率的方式精确遵循这一规律。
Example
一杯热咖啡每分钟损失剩余热量的 $10\%$，从 $80$ 度开始降温为 $80, 72, 64.8, 58.3, \ldots$，每分钟实际损失的热量都比前一分钟少。一剂 $200$ 毫克的药物以每小时 $r = 0.1$ 的速率衰减，$A(t) = 200e^{-0.1t}$，$5$ 小时后降至约 $121$ 毫克，半衰期约为 $\ln(2)/0.1 \approx 6.93$ 小时。碳-14 衰变，$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$，其中 $\lambda = \ln(2)/5730$ 年$^{-1}$，是放射性碳定年法的基础，通过测量比值 $A(t)/A_0$ 来确定 $t$，前提是衰变遵循这一规律且已知初始比值。
Key Insight
指数衰减是对"逐渐消退"这一现象的数学描述，可见于放射性衰变、药物在体内的代谢以及电池放电等场景，它的标志是每单位时间损失的是相同的百分比（而不是相同的数量），这与线性衰减有根本区别。这种"无记忆性"是精确的：给定一个原子核已经存活到时间 $t$，它剩余寿命的分布与最初的分布完全相同，这是离散概率中几何分布的连续时间类比。