Decaimiento Exponencial
El decaimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye a una tasa porcentual constante en intervalos de tiempo iguales, reduciéndose rápidamente al principio y luego más despacio.
Formula
A(t) = A_0 \cdot b^t, 0 < b < 1
Definition
El decaimiento exponencial ocurre cuando algo sigue reduciéndose en la misma fracción en cada período de tiempo, disminuyendo rápidamente al principio y luego cada vez más despacio, sin llegar nunca del todo a cero. Sigue $A(t) = A_0 \cdot b^t$ donde $0 < b < 1$, o equivalentemente $A(t) = A_0 \cdot e^{-rt}$ donde $r > 0$ es la tasa de decaimiento, con vida media $T_{1/2} = \ln(2)/r$ el tiempo para reducirse a la mitad. Resuelve la EDO $dA/dt = -rA$ ($r > 0$): $A(t) = A_0 e^{-rt}$; en mecánica cuántica, las partículas inestables decaen exponencialmente, siendo la probabilidad de sobrevivir hasta el tiempo $t$ igual a $e^{-t/\tau}$ donde $\tau$ es la vida media, y la desintegración radiactiva sigue esta ley exactamente a nivel de núcleos individuales, de manera probabilística.
Example
Una taza de café caliente que pierde $10\%$ de su calor restante cada minuto, empezando en $80$ grados, se enfría como $80, 72, 64.8, 58.3, \ldots$, perdiendo cada minuto menos calor real que antes. Una dosis de $200$ mg de un medicamento que decae a $r = 0.1$ por hora, $A(t) = 200e^{-0.1t}$, baja a aproximadamente $121$ mg después de $5$ horas, con una vida media de $\ln(2)/0.1 \approx 6.93$ horas. La desintegración del carbono-14, $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ con $\lambda = \ln(2)/5730$ año$^{-1}$, es la base de la datación por radiocarbono, que mide la razón $A(t)/A_0$ para determinar $t$, asumiendo que la desintegración sigue esta ley y que se conoce la razón inicial.
Key Insight
El decaimiento exponencial es la descripción matemática de "desvanecerse gradualmente," visto en la desintegración radiactiva, en la medicina dentro del cuerpo, y en la descarga de baterías, y su sello distintivo es que se pierde el mismo porcentaje (no la misma cantidad) en cada unidad de tiempo, fundamentalmente distinto del decaimiento lineal. Esta falta de memoria es exacta: dado que un núcleo ha sobrevivido hasta el tiempo $t$, la distribución de su vida restante es idéntica a la distribución original, el análogo en tiempo continuo de la distribución geométrica en probabilidad discreta.