期望值
qī wàng zhí
期望值是一个随机变量长期来看的平均结果，通过把每个可能取值按其概率加权计算得出。
Formula
E(X) = \sum (\text{each value} \times \text{its probability})
Definition
期望值是如果你把一项实验重复很多很多次，你会得到的平均结果，即长期来看你"期望"得到的结果。离散随机变量的期望值 $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ 是所有可能取值的概率加权平均数，用于决策理论、赌博、保险和经济学中比较具有不确定结果的选择。形式上，对连续型 $X$，$E[X] = \int x f(x)\,dx$，其性质包括线性性 $E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y]$，以及对于独立的 $X,Y$，$E[XY] = E[X]E[Y]$；在决策理论中，期望效用最大化通过应用一个效用函数 $u$ 推广了期望值：用 $E[u(X)]$ 代替 $E[X]$。
Example
在一个掷骰子、按点数赢得相应美元的游戏中，$E(\text{win}) = 1(1/6) + 2(1/6) + \ldots + 6(1/6) = 21/6 = 3.50$ 美元，是每次投掷的平均收益，尽管你不可能真的掷出 $3.5$。一张花费 $2$ 美元的彩票，以 $P=0.01$ 的概率赢得 $100$ 美元，以 $P=0.05$ 的概率赢得 $10$ 美元，以 $P=0.94$ 的概率赢得 $0$ 美元，$E(\text{payout}) = 1.50$ 美元，因此期望利润为 $-0.50$ 美元：平均每张彩票你会损失 $50$ 美分。圣彼得堡悖论展示了一个期望值无穷大的游戏，$\sum_{n=1}^{\infty} (1/2^n)2^n = \infty$，但大多数人不愿意花超过 $20$ 到 $30$ 美元来玩这个游戏，这说明了需要期望效用而非期望值。
Key Insight
期望值可能不是一个能够真正出现的值，但它仍然是长期的平均值；如果一个游戏的期望值为负，那么从长远来看无论短期运气如何，你都会亏钱，这就是为什么赌场设计的所有游戏对玩家而言期望值都是负的。詹森不等式指出，对于凹效用函数 $u$（风险厌恶），$E[u(X)] \le u(E[X])$，这意味着风险厌恶的决策者更偏好确定获得 $E[X]$，而不是期望值相同的彩票 $X$，这是保险市场的数学基础。