Valor Esperado
El valor esperado es el resultado promedio a largo plazo de una variable aleatoria, calculado ponderando cada valor posible por su probabilidad.
Formula
E(X) = \sum (\text{each value} \times \text{its probability})
Definition
El valor esperado es el resultado promedio que obtendrías si repitieras un experimento muchísimas veces, lo que "esperas" en promedio a largo plazo. El valor esperado $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ para una variable aleatoria discreta es el promedio ponderado por probabilidad de todos los valores posibles, usado en la teoría de la decisión, los juegos de azar, los seguros, y la economía para comparar opciones con resultados inciertos. Formalmente, $E[X] = \int x f(x)\,dx$ para $X$ continua, con propiedades que incluyen la linealidad $E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y]$ y, para $X,Y$ independientes, $E[XY] = E[X]E[Y]$; en la teoría de la decisión, la maximización de la utilidad esperada generaliza el valor esperado aplicando una función de utilidad $u$: $E[u(X)]$ en lugar de $E[X]$.
Example
En un juego donde lanzas un dado y ganas esa cantidad de dólares, $E(\text{win}) = 1(1/6) + 2(1/6) + \ldots + 6(1/6) = 21/6 = \$3.50$ en promedio por lanzamiento, aunque en realidad no puedas sacar $3.5$. Un boleto de lotería que cuesta $\$2$ y paga $\$100$ con $P=0.01$, $\$10$ con $P=0.05$, y $\$0$ con $P=0.94$ tiene $E(\text{payout}) = \$1.50$, así que la ganancia esperada es $-\$0.50$: en promedio pierdes $50$ centavos por boleto. La paradoja de San Petersburgo ilustra un juego con valor esperado infinito, $\sum_{n=1}^{\infty} (1/2^n)2^n = \infty$, y sin embargo la mayoría de las personas no pagarían más de $\$20$-$\$30$ por jugar, mostrando la necesidad de la utilidad esperada en lugar del valor esperado.
Key Insight
El valor esperado podría no ser un valor que realmente pueda ocurrir, pero sigue siendo el promedio a largo plazo; si un juego tiene un valor esperado negativo, pierdes dinero a largo plazo sin importar la suerte a corto plazo, razón por la cual los casinos diseñan todos los juegos con valor esperado negativo para los jugadores. La desigualdad de Jensen establece que para una función de utilidad cóncava $u$ (aversión al riesgo), $E[u(X)] \le u(E[X])$, lo que significa que quienes toman decisiones con aversión al riesgo prefieren una ganancia segura de $E[X]$ sobre la lotería $X$ incluso cuando ambas tienen el mismo valor esperado, el fundamento matemático de los mercados de seguros.