偶数
ǒu shù
偶数是任何能被2整除的整数，如0、2、4、6和8。
Formula
n = 2k \text{ for some integer } k
Definition
偶数是任何能被 $2$ 整除且不留余数的整数，末位总是 $0$、$2$、$4$、$6$ 或 $8$。形式上，若存在整数 $k$ 使得 $n = 2k$，则整数 $n$ 是偶数，等价地即 $n \bmod 2 = 0$；零是偶数，两个偶数的和、差、积永远是偶数，一个偶数与任意整数的积也是偶数。从代数角度看，偶整数就是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 中陪集 $0 + 2\mathbb{Z}$ 的任一元素；奇偶性函数 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（把 $n$ 映射到 $n \bmod 2$）是一个环同态，偶整数在 $\mathbb{Z}$ 中构成理想 $2\mathbb{Z}$。
Example
$4$、$16$、$28$ 和 $100$ 都是偶数，因为 $4 / 2 = 2$ 没有余数，任何末位是 $4$ 的数（如 $3{,}874$）都是偶数。偶 + 偶 = 偶（$4+6=10$），偶 + 奇 = 奇（$4+5=9$），偶 $\times$ 偶 = 偶（$4\times6=24$），偶 $\times$ 奇 = 偶（$4\times5=20$）。在证明 $\sqrt{2}$ 是无理数时，奇偶性是关键：若 $p^2$ 是偶数，则 $p$ 也是偶数（因为奇数的平方是奇数），这一步依赖于偶整数在乘法下的封闭性。
Key Insight
偶数总能被分成两组相等的部分：如果所有物体都能两两配对，总数就是偶数。奇偶规则是模 $2$ 运算的一个简单情形，让你无需实际计算就能预测结果的奇偶性，这在证明中是一个很有用的检验手段。奇偶性是模等价类中最简单、非平凡的例子，它的运算性质以一种学生容易直观理解的方式，展示了模运算与同态映射的所有关键特征；在特征为 $2$ 的域（如 $GF(2)$）中，奇偶性这一概念会完全坍缩，因为每个元素都满足 $n + n = 0$。